Keisuke Matsuya

Gray-Scottモデルは自己触媒反応の数理モデルであり, 解として様々な時空パターンを与える反応拡散系として知られている. これまでの研究で, Gray-Scottモデルの超離散化可能な離散化とその差分方程式系のパラメータを変えることで様々な時空パターンを与える解が得られている. 本講演はに基づくもので, これまでの研究で得られている離散化に対してTuring不安定性を議論し, その差分方程式系の解が示す一部の時空パターンがTuring不安定性によって切り替わることが分かった.

Ultradiscretization is a limiting procedure transforming a given difference equation into a cellular automaton. In this talk, we propose a discretization and an ultradiscretization of Gray-Scott model which is a reaction-diffusion system and whose solutions give various spatial patterns. The ultradiscrete system is directly related to the elementary cellular automaton Rule 90 which gives a Sierpinski gasket pattern. We also discuss relation between spatial patterns of the discrete system and Turing instability.

Ultradiscretization is a limiting procedure transforming a given difference equation into a cellular automaton. In addition the cellular automaton constructed by this procedure preserves the essential properties of the original equation, such as the structure of exact solutions for integrable equations. In this article, we propose a discretization and an ultradiscretization of Gray-Scott model which is not an integrable system and which gives various spatial patterns with appropriate initial data and parameters. The resulting systems give a traveling pulse and a self-replication pattern with appropriate initial data and parameters. The ultradiscrete system is directly related to the elementary cellular automaton Rule 90 which gives a Sierpinski gasket pattern. A (2+1) dimension ultradiscrete Gray-Scott model that gives a ring pattern and a self-replication pattern are also constructed.

本講演では, Newellが提案した時間遅れ微分方程式で記述される交通流モデル の離散化及び超離散化を紹介する. また, 離散化及び超離散化で得られた差分方程式は時間遅れをもち, それらの進 行波解についても議論する.

血管新生とは、生体内で既存の血管から新しい血管が分岐し血管網が構築される現象のことである。新しい血管は、血管内皮細胞の増殖と遊走によって形成される。本講演では、血管新生における血管内皮細胞の挙動に関する実験及び、実験データを元にして構成した内皮細胞の挙動のセルオートマトンモデルを紹介する。さらに、このセルオートマトンモデルに基づいた微分方程式モデルについても解説する。 また、本講演に関する研究を通じた講演者の所感と共に、数理科学と生命科学の融合研究に対する、講演者の考える課題についても述べたい。

血管新生とは、生体内で既存の血管から新しい血管が分岐し血管網が構築される現象のことである。新しい血管は、血管内皮細胞の増殖と遊走によって形成される。本ポスターでは、血管新生における血管内皮細胞の挙動に基づいた微分方程式モデルの紹介をする。さらに、この数理モデルから血管網が形成される様子等について解説する。また、これまでに、内皮細胞の挙動に基づいた離散モデルも得られており、この数理モデルと微分方程式による数理モデルとの比較も行う。

非線形項がべき乗関数の形をした半線形熱方程式には爆発解及び時間大域解が存在することが知られている．藤田宏氏らによってこれらの解の存在を特徴づける指数に関する定理が得られている．本講演では半線形熱方程式の離散化であり、藤田氏らの定理の離散類似を満たすものが得られたことを報告した．

Ultradiscretization is a limiting procedure transforming a given difference equation into a cellular automaton. In addition the cellular automaton constructed by this procedure preserves the essential properties of the original equation, such as the structure of exact solutions for integrable equations. In this article, we propose a discretization and an ultradiscretization of Gray-Scott model which is not an integrable system and which gives various spatial patterns with appropriate initial data and parameters. The resulting systems give a traveling pulse and a self-replication pattern with appropriate initial data and parameters. The ultradiscrete system is directly related to the elementary cellular automaton Rule 90 which gives a Sierpinski gasket pattern. A (2+1) dimension ultradiscrete Gray-Scott model that gives a ring pattern and a self-replication pattern are also constructed.

Gray-Scottモデルは２変数の反応拡散系であって、ある自己触媒反応のモデル化 として知られている.また、Gray-Scottモデルに は従属変数以外のパラメータが 含まれており、それらを変化させることで様々な時空パターンが得られることも 知られている. 本講演では、Gray-Scottモデルの時空パターンを保存した離散化及び超離散化が 得られたことを報告する.特に、超離散化で得られた方程式 は、シェルピンス キーギャスケットを与えるエレメンタリーセルオートマトンを解にもつことが分 かった.

Ultradiscretization is a limiting procedure transforming a given difference equation into a cellular automaton. In addition the cellular automaton constructed by this procedure preserves the essential properties of the original equation, such as the structure of exact solutions for integrable equations. In this article, we propose a discretization and an ultradiscretization of Gray-Scott model which is not an integrable system and which gives various spatial patterns with appropriate initial data and parameters. The resulting systems give a traveling pulse and a self-replication pattern with appropriate initial data and parameters. The ultradiscrete system is directly related to the elementary cellular automaton Rule 90 which gives a Sierpinski gasket pattern. A (2+1) dimension ultradiscrete Gray-Scott model that gives a ring pattern and a self-replication pattern are also constructed.

Gray-Scottモデルは２変数の反応拡散系であって、ある自己触媒反応のモデル化 として知られている.また、Gray-Scottモデルに は従属変数以外のパラメータが 含まれており、それらを変化させることで様々な時空パターンが得られることも 知られている. 本講演では、Gray-Scottモデルの時空パターンを保存した離散化及び超離散化が 得られたことを報告する.特に、超離散化で得られた方程式 は、シェルピンス キーギャスケットを与えるエレメンタリーセルオートマトンを解にもつことが分 かった.

Gray-Scottモデルは２変数の反応拡散系であって、ある自己触媒反応のモデル化 として知られている.また、Gray-Scottモデルに は従属変数以外のパラメータが 含まれており、それらを変化させることで様々な時空パターンが得られることも 知られている. 本講演では、Gray-Scottモデルの時空パターンを保存した離散化及び超離散化が 得られたことを報告する.特に、超離散化で得られた方程式 は、シェルピンス キーギャスケットを与えるエレメンタリーセルオートマトンを解にもつことが分 かった.

非線形項がべき乗関数の形をした半線形熱方程式には爆発解及び時間大域解が存在することが知られている．藤田宏氏らによってこれらの解の存在を特徴づける指数に関する定理が得られている．本講演では半線形熱方程式の離散化であり、藤田氏らの定理の離散類似を満たすものが得られたことを報告した．